その子にとってよい家庭教師は、子どもとの相性がよい家庭教師、と言い換えてもよいでしょう。
高学歴の先生だからといってよい先生、とは限りません。高学歴の人だとかえって落ちこぼれる生徒の気持ちがわからずどうしてこんなこともわからないのか、という態度がかえって子供に劣等感を与えることもあります。子供のレベルに合わせて指導方法を調節することができる人かどうか、よく確かめてあげてください。
できるなら最初の授業に参加して、その家庭教師の指導の仕方を観察してみてください。子供が理解しにくいと思っている時に、その家庭教師はどうしているでしょうか。図や表を使って、子供の理解を助けようとするでしょうか。お子さんをよく観察して、わからなくなっているその傾向や原因を見抜こうとしているでしょうか。それともただ見ているだけか、自分の携帯をいじくっているでしょうか。子供と真摯に向き合ってくれる家庭教師に出会えるといいですね。